Aritimética

Operadores Básicos

Operadores básicos funcionam como esperado

1 + 2 - 3 = 0

$1 + 2 - 3 = 0$

Divisão pode ser feita como abaixo

1/2 = 1 \div 2 = \frac{1}{2}

$1/2 = 1 \div 2 = \frac{1}{2}$

Para formatar frações maiores, use

\dfrac{1}{2}

$\dfrac{1}{2}$

Multiplicação

2 \cdot 3 = 2 \times 3

$2 \cdot 3 = 2 \times 3$

Evite usar * para multiplicação

2 * 3

$2 * 3$

Dízimas periódicas são denotadas por uma barra

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}

$\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$

Expoentes e Índices

Expoentes são formatados com um acento circunflexo

2^3 = 8

$2^3 = 8$

Use chaves para agrupá-los …

2^{10}

$2^{10}$

… para evitar

2^10

$2^10$

Índices subscritos são formatados como demonstrado

a_n = 2 \cdot a_{n-1}

$a_n = 2 \cdot a_{n-1}$

Radicais

Uma raiz quadrada é formatada como

\sqrt{16} = 4

$\sqrt{16} = 4$

Para tirar a raiz

$n$ -ésima, use

\sqrt[3]{27} = 3

$\sqrt[3]{27} = 3$

\pm vira "mais-ou-menos".

x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}

$x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}$

Chaves podem ser omitidas se o argumento é apenas 1 símbolo

\sqrt 2

$\sqrt 2$

Delimitadores

Para parênteses grandes, use \left e \right …

\left( \dfrac{1}{x} \right)

$\left( \dfrac{1}{x} \right)$

… para evitar o seguinte

(\dfrac{1}{x})

$(\dfrac{1}{x})$

Isso também pode ser feito com |, [, …

\left| \frac{x + 1}{x - 1} \right|

$\left| \frac{x + 1}{x - 1} \right|$

Piso pode ser obtido com \lfloor e \rfloor

\left\lfloor \frac{1}{2} \right\rfloor

$\left\lfloor \frac{1}{2} \right\rfloor$

\| vira uma barra dupla

\left\| \frac{z}{a} \right\|

$\left\| \frac{z}{a} \right\|$

Colchetes angulares são formatados como abaixo

\langle x^2 + 1 \rangle

$\langle x^2 + 1 \rangle$

Para fazê-los crescer automaticamente, use

\left< \dfrac{1}{2} \right>

$\left< \dfrac{1}{2} \right>$

Texto e Espaçamento

Texto

Use \text …

\text{Área 1}

$\text{Área 1}$

… para evitar o seguinte

Área 1

$Área 1$

Espaçamento

\ adiciona um espaço com o comprimento padrão

\blacksquare \ \blacksquare

$\blacksquare \ \blacksquare$

\quad e \qquad são espaços maiores

\blacksquare \quad
\blacksquare \qquad
\blacksquare

$\blacksquare \quad \blacksquare \qquad \blacksquare$

\: são \, espaços menores

\blacksquare \:
\blacksquare \,
\blacksquare

$\blacksquare \: \blacksquare \, \blacksquare$

Espaços pequenos são úteis para agrupar dígitos

54\,321

$54\,321$

Igualdades

(Des)igualdades

1 + 1 = 2 \ne 3 \approx \pi

$1 + 1 = 2 \ne 3 \approx \pi$

Para centralizar uma equação sem legenda,
faça o seguinte

\begin{aligned}
    A = b \cdot h
\end{aligned}

$\begin{aligned} A = b \cdot h \end{aligned}$

\lt representa "menor que"

3 \lt x \le 4

$3 \lt x \le 4$

\gt representa "maior que"

x \gt 3

$x \gt 3$

\ge representa "maior ou igual a"

x \ge 3

$x \ge 3$

\not pode ser usado para negar
qualquer coisa, mas é geralmente feio

x \not\gt 4

$x \not\gt 4$

$T$ é proporcional a

$p$

T \propto p \text{ ou } T \sim p

$T \propto p \text{ ou } T \sim p$

Alinhamento Dos Sinais De Igualdade

Alinhe os sinais de igualdade como abaixo

\begin{aligned}
    2 + 2 &= 4 \\
    2     &= 4 - 2
\end{aligned}

$\begin{aligned} 2 + 2 &= 4 \\ 2 &= 4 - 2 \end{aligned}$

Você também pode legendar uma linha

\begin{aligned}
    2 + 2 &= 4 && \text (1) \\
    2     &= 4 - 2        \\
    2     &= 2
\end{aligned}

$\begin{aligned} 2 + 2 &= 4 && \text (1) \\ 2 &= 4 - 2 \\ 2 &= 2 \end{aligned}$

Para dar mais explicações, coloque um texto

\begin{aligned}
    2 + 2 &= 4                                   \\
    2     &= 4 - 2 && \text{subtraindo 2}        \\
    2     &= 2
\end{aligned}

$\begin{aligned} 2 + 2 &= 4 \\ 2 &= 4 - 2 && \text{subtraindo 2} \\ 2 &= 2 \end{aligned}$

Sistemas de equações

S = \left\{
\begin{aligned}
    a + b     &= 4\\
    a \cdot b &= 4
\end{aligned}
\right.

$S = \left\{ \begin{aligned} a + b &= 4\\ a \cdot b &= 4 \end{aligned} \right.$

Anotando Igualdades

\overset pode ser usado pra empilhar símbolos

2 \overset{?}{=} 3

$2 \overset{?}{=} 3$

Setas às vezes ficam muito curtas

\overset{\text{algum texto}}{\rightarrow}

$\overset{\text{algum texto}}{\rightarrow}$

Em vez disso, use \xrightarrow

\xrightarrow{\text{algum texto}}

$\xrightarrow{\text{algum texto}}$

Sobrechaves e subchaves em ação

(\cos x + \sin x)^2 =
    \underbrace{\cos^2 x + \sin^2 x}_{1} +
    \overbrace{2 \sin x \cos x}^{\sin 2x}

$(\cos x + \sin x)^2 = \underbrace{\cos^2 x + \sin^2 x}_{1} + \overbrace{2 \sin x \cos x}^{\sin 2x}$

Módulo

$\text{mod}$ é usado como operador binário

7 \bmod 4 = 3

$7 \bmod 4 = 3$

Se é usado depois da equação

7 \equiv 3 \pmod 4

$7 \equiv 3 \pmod 4$

Sem parênteses

7 \equiv 3 \mod 4

$7 \equiv 3 \mod 4$

Geometria

Ângulos

Use \angle para denotar um ângulo

\angle A = 90^\circ

$\angle A = 90^\circ$

\hat e \widehat são outras possibilidades

\hat A = \widehat{BAC} = 90^\circ

$\hat A = \widehat{BAC} = 90^\circ$

Para radianos, faça o seguinte

\angle A = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

$\angle A = \frac{\pi}{2} \text{ rad}$

Letras Gregas

Algumas letras gregas

\alpha \beta \gamma \delta

$\alpha \beta \gamma \delta$

Letras gregas maiúsculas

\Gamma \Delta \Theta \Xi \Lambda

$\Gamma \Delta \Theta \Xi \Lambda$

Fi e épsilon têm variantes

\phi, \varphi \quad \epsilon, \varepsilon

$\phi, \varphi \quad \epsilon, \varepsilon$

Assim como teta e capa …

\theta, \vartheta \quad \kappa, \varkappa

$\theta, \vartheta \quad \kappa, \varkappa$

… pi e rô

\pi, \varpi \quad \rho, \varrho

$\pi, \varpi \quad \rho, \varrho$

Outros Símbolos

Formas úteis

\triangle, \square, \bigcirc

$\triangle, \square, \bigcirc$

Perpendiculares

AB \perp BC

$AB \perp BC$

Paralelas

AB \parallel CD

$AB \parallel CD$

Similares

\triangle ABC \sim \triangle CEF

$\triangle ABC \sim \triangle CEF$

Congruentes

\triangle ABC \cong \triangle CEF

$\triangle ABC \cong \triangle CEF$

Funções

Funções Padrão

Escreva funções padrão com uma barra invertida

\log x

$\log x$

Caso contrário os resultados serão ruins

log x

$log x$

Muitas funções estão disponíveis …

\exp x, \arccos x, \cosh x, \max x

$\exp x, \arccos x, \cosh x, \max x$

N.T: seno está disponível como no inglês

$\sin$

\sin x

$\sin x$

Introduzindo Funções

Algumas funções não estão disponíveis.
Use \operatorname

\operatorname{arccosh} x

$\operatorname{arccosh} x$

N.T: Com isso podemos também definir
o seno em português!

\operatorname{sen} x

$\operatorname{sen} x$

Outra maneira de definir uma função

\begin{aligned}
    f\colon \R &\to \R^+\\
    x          &\mapsto x^2
\end{aligned}

$\begin{aligned} f\colon \R &\to \R^+\\ x &\mapsto x^2 \end{aligned}$

Funções por partes

f(x) = \begin{cases}
    x   & \text{se $x \gt 0$}\\
    x^2 & \text{senão}
\end{cases}

$f(x) = \begin{cases} x & \text{se $x \gt 0$}\\ x^2 & \text{senão} \end{cases}$

Operações com Funções

Derivada

f'(x) = \frac{df}{dx}

$f'(x) = \frac{df}{dx}$

Composição

(f \circ g)(x) = f(g(x))

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

Inversa

f^{-1}(x)

$f^{-1}(x)$

Somas e Séries

Somatórios e Produtórios

Formatar somas é fácil

\sum_{n=1}^\infty x^n

$\sum_{n=1}^\infty x^n$

\limits mantém o estilo pequeno, mas leva
os limites para em cima e em baixo da soma

\sum\limits_{n=1}^\infty x^n

$\sum\limits_{n=1}^\infty x^n$

Produtórios são formatados similarmente

\prod_{n=1}^\infty x^n

$\prod_{n=1}^\infty x^n$

Reticências

Nunca use … para fazer reticências

1 + 2 - 3 + 4 ...

$1 + 2 - 3 + 4 ...$

\ldots gera reticências inferiores

1, 2, \ldots, 10

$1, 2, \ldots, 10$

\cdots gera reticências centralizadas

f(x) = x + x^2 + x^3 + \cdots

$f(x) = x + x^2 + x^3 + \cdots$

Reticências diagonais e verticais
são úteis em matrizes

\begin{pmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1 \\
    0 & 1 & \cdots & 1 \\
    0 & 0 & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & 0      & 1
\end{pmatrix}

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Conjuntos

Chaves

{} não funcionam, pois agrupam objetos

{1, 2, 3}

${1, 2, 3}$

Escape elas com barras invertidas

\{1, 2, 3\}

$\{1, 2, 3\}$

Use \mathbb para letras de traço duplo

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots \}

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots \}$

Você também pode usar essas abreviações

\O, \N, \Z, \Q, \R, \C

$\O, \N, \Z, \Q, \R, \C$

\mid insere uma barra vertical

\{n^2 \mid n \in \N\}

$\{n^2 \mid n \in \N\}$

União e Interseção

União e interseção

A \cup B = C \cap D

$A \cup B = C \cap D$

Elemento num conjunto

x \in A

$x \in A$

Superconjunto e subconjuntos

A \subset B \iff B \supset A

$A \subset B \iff B \supset A$

Adicione eq para

A \subseteq B

$A \subseteq B$

Para subtrair um conjunto, escreva

\N_0 = \N \setminus \{0\}

$\N_0 = \N \setminus \{0\}$

Outros

Conjunto vazio

\emptyset = \varnothing

$\emptyset = \varnothing$

Conjunto potência

\mathcal P \{1, 2\} = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}

$\mathcal P \{1, 2\} = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}$

Números Complexos

O conjunto complexo

a + ib \in \C

$a + ib \in \C$

A parte real

\Re \left( e^{ix} \right) = \cos x

$\Re \left( e^{ix} \right) = \cos x$

A parte imaginária

\Im \left( e^{ix} \right) = \sin x

$\Im \left( e^{ix} \right) = \sin x$

O conjugado de um número

\overline z = \Re (z) - i \Im (z)

$\overline z = \Re (z) - i \Im (z)$

A magnitude

|z| = \| z \|

$|z| = \| z \|$

O argumento

\arg z

$\arg z$

Cálculo

Limites

Limites são formatados com um subscrito

\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty

$\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty$

Derivadas

Formatar derivadas usando frações

\dfrac{dy}{dx}

$\dfrac{dy}{dx}$

Se você quiser o

$\mathrm d$ reto, use

\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}

$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$

Derivada num ponto

\left. \dfrac{dy}{dx} \right|_{x=0}

$\left. \dfrac{dy}{dx} \right|_{x=0}$

Derivada parcial

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = f_x

$\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = f_x$

Quociente de diferença

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

$\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

Derivadas com respeito ao tempo

\dot x, \ddot x

$\dot x, \ddot x$

Você pode declarar isso uma vez …

\newcommand\deriv[2]{\frac{\mathrm d #1}{\mathrm d #2}}
\deriv{f}{x}

$\newcommand\deriv[2]{\frac{\mathrm d #1}{\mathrm d #2}} \deriv{f}{x}$

… para encurtar o uso repetido

\deriv{y}{x}

$\deriv{y}{x}$

Integrais

Aqui, \, insere um espaço pequeno

\int x \, dx = \frac{x^2}{2}

$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$

Para um

$\mathrm d$ reto, use

\int x \, \mathrm dx = \frac{x^2}{2}

$\int x \, \mathrm dx = \frac{x^2}{2}$

Nunca use \ints consecutivas

\int \int x^2 + y^2 \,dx \,dy

$\int \int x^2 + y^2 \,dx \,dy$

Use \iint ao invés

\iint x^2 + y^2 \,dx \, dy

$\iint x^2 + y^2 \,dx \, dy$

Limites inferiores e superiores

\int_a^b x \, dx

$\int_a^b x \, dx$

Avaliando integrais. \left. é um colchete invisível

\int_0^1 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1

$\int_0^1 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1$

Integral de caminho fechado

\oint_C \mathbf F \cdot d \mathbf r

$\oint_C \mathbf F \cdot d \mathbf r$

\limits coloca as bordas no sinal de integral

\oint\limits_C \mathbf F \cdot d \mathbf r

$\oint\limits_C \mathbf F \cdot d \mathbf r$

Vetores

Escolha um desses

\mathbf{u} = \vec u

$\mathbf{u} = \vec u$

Use \imath e \jmath para vetores unitários …

\hat \imath, \hat \jmath, \hat k

$\hat \imath, \hat \jmath, \hat k$

… para evitar

\hat i, \hat j, \hat k

$\hat i, \hat j, \hat k$

Tome o produto vetorial com \times

\vec u \times \vec v

$\vec u \times \vec v$

Tome o produto interno com \cdot

\vec u \cdot \vec v

$\vec u \cdot \vec v$

Colchetes angulares podem ser usados

\vec u = \left< u_x, u_y, u_z \right>

$\vec u = \left< u_x, u_y, u_z \right>$

O operador nabla

\nabla f = \operatorname{grad} f

$\nabla f = \operatorname{grad} f$

Divergente de um campo vetorial

\nabla \cdot \mathbf F
 = \operatorname{div} \mathbf F

$\nabla \cdot \mathbf F = \operatorname{div} \mathbf F$

Para uso repetido tente …

\DeclareMathOperator{\div}{div}
\div \mathbf F

$\DeclareMathOperator{\div}{div} \div \mathbf F$

… e replique quantas vezes quiser.

\div \mathbf A = \div \mathbf B

$\div \mathbf A = \div \mathbf B$

Rotacional de um campo vetorial

\nabla \times \mathbf F
 = \operatorname{curl} \mathbf F

$\nabla \times \mathbf F = \operatorname{curl} \mathbf F$

Matrizes

Faça matrizes com parênteses

\begin{pmatrix}
    0 & 1\\
    1 & 1
\end{pmatrix}

$\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Faça matrizes com colchetes

\begin{bmatrix}
    0 & 1\\
    1 & 1
\end{bmatrix}

$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

A matriz adjunta

\operatorname{adj} A

$\operatorname{adj} A$

Transpondo uma matriz

A^\top \text{ ou } A^\intercal

$A^\top \text{ ou } A^\intercal$

O determinante

\det A = \begin{vmatrix}
    0 & 1\\
    1 & 1
\end{vmatrix} = -1

$\det A = \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$

Adicione reticências centralizadas, verticais e diagonais

\begin{bmatrix}
    1      & 0      & \cdots & 0     \\
    0      & 1      & \cdots & 0     \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    0      & 0      & \cdots & 1     \\
\end{bmatrix}

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix}$

Equações em LaTeX no Mettzer

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