Aritimética

Operadores Básicos

Operadores básicos funcionam como esperado

1 + 2 - 3 = 0

[math]1 + 2 - 3 = 0[/math]

Divisão pode ser feita como abaixo

1/2 = 1 \div 2 = \frac{1}{2}

[math]1/2 = 1 \div 2 = \frac{1}{2}[/math]

Para formatar frações maiores, use

\dfrac{1}{2}

[math]\dfrac{1}{2}[/math]

Multiplicação

2 \cdot 3 = 2 \times 3

[math]2 \cdot 3 = 2 \times 3[/math]

Evite usar * para multiplicação

2 * 3

[math]2 * 3[/math]

Dízimas periódicas são denotadas por uma barra

\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}

[math]\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}[/math]

Expoentes e Índices

Expoentes são formatados com um acento circunflexo

2^3 = 8

[math]2^3 = 8[/math]

Use chaves para agrupá-los …

2^{10}

[math]2^{10}[/math]

… para evitar

2^10

[math]2^10[/math]

Índices subscritos são formatados como demonstrado

a_n = 2 \cdot a_{n-1}

[math]a_n = 2 \cdot a_{n-1}[/math]

Radicais

Uma raiz quadrada é formatada como

\sqrt{16} = 4

[math]\sqrt{16} = 4[/math]

Para tirar a raiz [math]n[/math]-ésima, use

\sqrt[3]{27} = 3

[math]\sqrt[3]{27} = 3[/math]

\pm vira "mais-ou-menos".

x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}

[math]x^2 = 4 \implies x = \pm \sqrt{4}[/math]

Chaves podem ser omitidas se o argumento é apenas 1 símbolo

\sqrt 2

[math]\sqrt 2[/math]

Delimitadores

Para parênteses grandes, use \left e \right …

\left( \dfrac{1}{x} \right)

[math]\left( \dfrac{1}{x} \right)[/math]

… para evitar o seguinte

(\dfrac{1}{x})

[math](\dfrac{1}{x})[/math]

Isso também pode ser feito com |, [, …

\left| \frac{x + 1}{x - 1} \right|

[math]\left| \frac{x + 1}{x - 1} \right|[/math]

Piso pode ser obtido com \lfloor e \rfloor

\left\lfloor \frac{1}{2} \right\rfloor

[math]\left\lfloor \frac{1}{2} \right\rfloor[/math]

\| vira uma barra dupla

\left\| \frac{z}{a} \right\|

[math]\left\| \frac{z}{a} \right\|[/math]

Colchetes angulares são formatados como abaixo

\langle x^2 + 1 \rangle

[math]\langle x^2 + 1 \rangle[/math]

Para fazê-los crescer automaticamente, use

\left< \dfrac{1}{2} \right>

[math]\left< \dfrac{1}{2} \right>[/math]

Texto e Espaçamento

Texto

Use \text …

\text{Área 1}

[math]\text{Área 1}[/math]

… para evitar o seguinte

Área 1

[math]Área 1[/math]

Espaçamento

\ adiciona um espaço com o comprimento padrão

\blacksquare \ \blacksquare

[math]\blacksquare \ \blacksquare[/math]

\quad e \qquad são espaços maiores

\blacksquare \quad
\blacksquare \qquad
\blacksquare

[math]\blacksquare \quad \blacksquare \qquad \blacksquare[/math]

\: são \, espaços menores

\blacksquare \:
\blacksquare \,
\blacksquare

[math]\blacksquare \: \blacksquare \, \blacksquare[/math]

Espaços pequenos são úteis para agrupar dígitos

54\,321

[math]54\,321[/math]

Igualdades

(Des)igualdades

1 + 1 = 2 \ne 3 \approx \pi

[math]1 + 1 = 2 \ne 3 \approx \pi[/math]

Para centralizar uma equação sem legenda,
faça o seguinte

\begin{aligned}
    A = b \cdot h
\end{aligned}

[math]\begin{aligned} A = b \cdot h \end{aligned}[/math]

\lt representa "menor que"

3 \lt x \le 4

[math]3 \lt x \le 4[/math]

\gt representa "maior que"

x \gt 3

[math]x \gt 3[/math]

\ge representa "maior ou igual a"

x \ge 3

[math]x \ge 3[/math]

\not pode ser usado para negar
qualquer coisa, mas é geralmente feio

x \not\gt 4

[math]x \not\gt 4[/math]

[math]T[/math] é proporcional a [math]p[/math]

T \propto p \text{ ou } T \sim p

[math]T \propto p \text{ ou } T \sim p[/math]

Alinhamento Dos Sinais De Igualdade

Alinhe os sinais de igualdade como abaixo

\begin{aligned}
    2 + 2 &= 4 \\
    2     &= 4 - 2
\end{aligned}

[math]\begin{aligned} 2 + 2 &= 4 \\ 2 &= 4 - 2 \end{aligned}[/math]

Você também pode legendar uma linha

\begin{aligned}
    2 + 2 &= 4 && \text (1) \\
    2     &= 4 - 2        \\
    2     &= 2
\end{aligned}

[math]\begin{aligned} 2 + 2 &= 4 && \text (1) \\ 2 &= 4 - 2 \\ 2 &= 2 \end{aligned}[/math]

Para dar mais explicações, coloque um texto

\begin{aligned}
    2 + 2 &= 4                                   \\
    2     &= 4 - 2 && \text{subtraindo 2}        \\
    2     &= 2
\end{aligned}

[math]\begin{aligned} 2 + 2 &= 4 \\ 2 &= 4 - 2 && \text{subtraindo 2} \\ 2 &= 2 \end{aligned}[/math]

Sistemas de equações

S = \left\{
\begin{aligned}
    a + b     &= 4\\
    a \cdot b &= 4
\end{aligned}
\right.

[math]S = \left\{ \begin{aligned} a + b &= 4\\ a \cdot b &= 4 \end{aligned} \right.[/math]

Anotando Igualdades

\overset pode ser usado pra empilhar símbolos

2 \overset{?}{=} 3

[math]2 \overset{?}{=} 3[/math]

Setas às vezes ficam muito curtas

\overset{\text{algum texto}}{\rightarrow}

[math]\overset{\text{algum texto}}{\rightarrow}[/math]

Em vez disso, use \xrightarrow

\xrightarrow{\text{algum texto}}

[math]\xrightarrow{\text{algum texto}}[/math]

Sobrechaves e subchaves em ação

(\cos x + \sin x)^2 =
    \underbrace{\cos^2 x + \sin^2 x}_{1} +
    \overbrace{2 \sin x \cos x}^{\sin 2x}

[math](\cos x + \sin x)^2 = \underbrace{\cos^2 x + \sin^2 x}_{1} + \overbrace{2 \sin x \cos x}^{\sin 2x}[/math]

Módulo

Se [math]\text{mod}[/math] é usado como operador binário

7 \bmod 4 = 3

[math]7 \bmod 4 = 3[/math]

Se é usado depois da equação

7 \equiv 3 \pmod 4

[math]7 \equiv 3 \pmod 4[/math]

Sem parênteses

7 \equiv 3 \mod 4

[math]7 \equiv 3 \mod 4[/math]

Geometria

Ângulos

Use \angle para denotar um ângulo

\angle A = 90^\circ

[math]\angle A = 90^\circ[/math]

\hat e \widehat são outras possibilidades

\hat A = \widehat{BAC} = 90^\circ

[math]\hat A = \widehat{BAC} = 90^\circ[/math]

Para radianos, faça o seguinte

\angle A = \frac{\pi}{2} \text{ rad}

[math]\angle A = \frac{\pi}{2} \text{ rad}[/math]

Letras Gregas

Algumas letras gregas

\alpha \beta \gamma \delta

[math]\alpha \beta \gamma \delta[/math]

Letras gregas maiúsculas

\Gamma \Delta \Theta \Xi \Lambda

[math]\Gamma \Delta \Theta \Xi \Lambda[/math]

Fi e épsilon têm variantes

\phi, \varphi \quad \epsilon, \varepsilon

[math]\phi, \varphi \quad \epsilon, \varepsilon[/math]

Assim como teta e capa …

\theta, \vartheta \quad \kappa, \varkappa

[math]\theta, \vartheta \quad \kappa, \varkappa[/math]

… pi e rô

\pi, \varpi \quad \rho, \varrho

[math]\pi, \varpi \quad \rho, \varrho[/math]

Outros Símbolos

Formas úteis

\triangle, \square, \bigcirc

[math]\triangle, \square, \bigcirc[/math]

Perpendiculares

AB \perp BC

[math]AB \perp BC[/math]

Paralelas

AB \parallel CD

[math]AB \parallel CD[/math]

Similares

\triangle ABC \sim \triangle CEF

[math]\triangle ABC \sim \triangle CEF[/math]

Congruentes

\triangle ABC \cong \triangle CEF

[math]\triangle ABC \cong \triangle CEF[/math]

Funções

Funções Padrão

Escreva funções padrão com uma barra invertida

\log x

[math]\log x[/math]

Caso contrário os resultados serão ruins

log x

[math]log x[/math]

Muitas funções estão disponíveis …

\exp x, \arccos x, \cosh x, \max x

[math]\exp x, \arccos x, \cosh x, \max x[/math]

N.T: seno está disponível como no inglês [math]\sin[/math]

\sin x

[math]\sin x[/math]

Introduzindo Funções

Algumas funções não estão disponíveis.
Use \operatorname

\operatorname{arccosh} x

[math]\operatorname{arccosh} x[/math]

N.T: Com isso podemos também definir
o seno em português!

\operatorname{sen} x

[math]\operatorname{sen} x[/math]

Outra maneira de definir uma função

\begin{aligned}
    f\colon \R &\to \R^+\\
    x          &\mapsto x^2
\end{aligned}

[math]\begin{aligned} f\colon \R &\to \R^+\\ x &\mapsto x^2 \end{aligned}[/math]

Funções por partes

f(x) = \begin{cases}
    x   & \text{se $x \gt 0$}\\
    x^2 & \text{senão}
\end{cases}

[math]f(x) = \begin{cases} x & \text{se $x \gt 0$}\\ x^2 & \text{senão} \end{cases}[/math]

Operações com Funções

Derivada

f'(x) = \frac{df}{dx}

[math]f'(x) = \frac{df}{dx}[/math]

Composição

(f \circ g)(x) = f(g(x))

[math](f \circ g)(x) = f(g(x))[/math]

Inversa

f^{-1}(x)

[math]f^{-1}(x)[/math]

Somas e Séries

Somatórios e Produtórios

Formatar somas é fácil

\sum_{n=1}^\infty x^n

[math]\sum_{n=1}^\infty x^n[/math]

\limits mantém o estilo pequeno, mas leva
os limites para em cima e em baixo da soma

\sum\limits_{n=1}^\infty x^n

[math]\sum\limits_{n=1}^\infty x^n[/math]

Produtórios são formatados similarmente

\prod_{n=1}^\infty x^n

[math]\prod_{n=1}^\infty x^n[/math]

Reticências

Nunca use … para fazer reticências

1 + 2 - 3 + 4 ...

[math]1 + 2 - 3 + 4 ...[/math]

\ldots gera reticências inferiores

1, 2, \ldots, 10

[math]1, 2, \ldots, 10[/math]

\cdots gera reticências centralizadas

f(x) = x + x^2 + x^3 + \cdots

[math]f(x) = x + x^2 + x^3 + \cdots[/math]

Reticências diagonais e verticais
são úteis em matrizes

\begin{pmatrix}
    1 & 1 & \cdots & 1 \\
    0 & 1 & \cdots & 1 \\
    0 & 0 & \ddots & \vdots \\
    0 & 0 & 0      & 1
\end{pmatrix}

[math]\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Conjuntos

Chaves

{} não funcionam, pois agrupam objetos

{1, 2, 3}

[math]{1, 2, 3}[/math]

Escape elas com barras invertidas

\{1, 2, 3\}

[math]\{1, 2, 3\}[/math]

Use \mathbb para letras de traço duplo

\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots \}

[math]\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots \}[/math]

Você também pode usar essas abreviações

\O, \N, \Z, \Q, \R, \C

[math]\O, \N, \Z, \Q, \R, \C[/math]

\mid insere uma barra vertical

\{n^2 \mid n \in \N\}

[math]\{n^2 \mid n \in \N\}[/math]

União e Interseção

União e interseção

A \cup B = C \cap D

[math]A \cup B = C \cap D[/math]

Elemento num conjunto

x \in A

[math]x \in A[/math]

Superconjunto e subconjuntos

A \subset B \iff B \supset A

[math]A \subset B \iff B \supset A[/math]

Adicione eq para

A \subseteq B

[math]A \subseteq B[/math]

Para subtrair um conjunto, escreva

\N_0 = \N \setminus \{0\}

[math]\N_0 = \N \setminus \{0\}[/math]

Outros

Conjunto vazio

\emptyset = \varnothing

[math]\emptyset = \varnothing[/math]

Conjunto potência

\mathcal P \{1, 2\} = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}

[math]\mathcal P \{1, 2\} = \{\{\}, \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}[/math]

Números Complexos

O conjunto complexo

a + ib \in \C

[math]a + ib \in \C[/math]

A parte real

\Re \left( e^{ix} \right) = \cos x

[math]\Re \left( e^{ix} \right) = \cos x[/math]

A parte imaginária

\Im \left( e^{ix} \right) = \sin x

[math]\Im \left( e^{ix} \right) = \sin x[/math]

O conjugado de um número

\overline z = \Re (z) - i \Im (z)

[math]\overline z = \Re (z) - i \Im (z)[/math]

A magnitude

|z| = \| z \|

[math]|z| = \| z \|[/math]

O argumento

\arg z

[math]\arg z[/math]

Cálculo

Limites

Limites são formatados com um subscrito

\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty

[math]\lim_{x \to \infty} x^2 = \infty[/math]

Derivadas

Formatar derivadas usando frações

\dfrac{dy}{dx}

[math]\dfrac{dy}{dx}[/math]

Se você quiser o [math]\mathrm d[/math] reto, use

\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}

[math]\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}[/math]

Derivada num ponto

\left. \dfrac{dy}{dx} \right|_{x=0}

[math]\left. \dfrac{dy}{dx} \right|_{x=0}[/math]

Derivada parcial

\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = f_x

[math]\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x} = f_x[/math]

Quociente de diferença

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}

[math]\dfrac{\Delta y}{\Delta x}[/math]

Derivadas com respeito ao tempo

\dot x, \ddot x

[math]\dot x, \ddot x[/math]

Você pode declarar isso uma vez …

\newcommand\deriv[2]{\frac{\mathrm d #1}{\mathrm d #2}}
\deriv{f}{x}

[math]\newcommand\deriv[2]{\frac{\mathrm d #1}{\mathrm d #2}} \deriv{f}{x}[/math]

… para encurtar o uso repetido

\deriv{y}{x}

[math]\deriv{y}{x}[/math]

Integrais

Aqui, \, insere um espaço pequeno

\int x \, dx = \frac{x^2}{2}

[math]\int x \, dx = \frac{x^2}{2}[/math]

Para um [math]\mathrm d[/math] reto, use

\int x \, \mathrm dx = \frac{x^2}{2}

[math]\int x \, \mathrm dx = \frac{x^2}{2}[/math]

Nunca use \ints consecutivas

\int \int x^2 + y^2 \,dx \,dy

[math]\int \int x^2 + y^2 \,dx \,dy[/math]

Use \iint ao invés

\iint x^2 + y^2 \,dx \, dy

[math]\iint x^2 + y^2 \,dx \, dy[/math]

Limites inferiores e superiores

\int_a^b x \, dx

[math]\int_a^b x \, dx[/math]

Avaliando integrais. \left. é um colchete invisível

\int_0^1 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1

[math]\int_0^1 x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^1[/math]

Integral de caminho fechado

\oint_C \mathbf F \cdot d \mathbf r

[math]\oint_C \mathbf F \cdot d \mathbf r[/math]

\limits coloca as bordas no sinal de integral

\oint\limits_C \mathbf F \cdot d \mathbf r

[math]\oint\limits_C \mathbf F \cdot d \mathbf r[/math]

Vetores

Escolha um desses

\mathbf{u} = \vec u

[math]\mathbf{u} = \vec u[/math]

Use \imath e \jmath para vetores unitários …

\hat \imath, \hat \jmath, \hat k

[math]\hat \imath, \hat \jmath, \hat k[/math]

… para evitar

\hat i, \hat j, \hat k

[math]\hat i, \hat j, \hat k[/math]

Tome o produto vetorial com \times

\vec u \times \vec v

[math]\vec u \times \vec v[/math]

Tome o produto interno com \cdot

\vec u \cdot \vec v

[math]\vec u \cdot \vec v[/math]

Colchetes angulares podem ser usados

\vec u = \left< u_x, u_y, u_z \right>

[math]\vec u = \left< u_x, u_y, u_z \right>[/math]

O operador nabla

\nabla f = \operatorname{grad} f

[math]\nabla f = \operatorname{grad} f[/math]

Divergente de um campo vetorial

\nabla \cdot \mathbf F
 = \operatorname{div} \mathbf F

[math]\nabla \cdot \mathbf F = \operatorname{div} \mathbf F[/math]

Para uso repetido tente …

\DeclareMathOperator{\div}{div}
\div \mathbf F

[math]\DeclareMathOperator{\div}{div} \div \mathbf F[/math]

… e replique quantas vezes quiser.

\div \mathbf A = \div \mathbf B

[math]\div \mathbf A = \div \mathbf B[/math]

Rotacional de um campo vetorial

\nabla \times \mathbf F
 = \operatorname{curl} \mathbf F

[math]\nabla \times \mathbf F = \operatorname{curl} \mathbf F[/math]

Matrizes

Faça matrizes com parênteses

\begin{pmatrix}
    0 & 1\\
    1 & 1
\end{pmatrix}

[math]\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix}[/math]

Faça matrizes com colchetes

\begin{bmatrix}
    0 & 1\\
    1 & 1
\end{bmatrix}

[math]\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}[/math]

A matriz adjunta

\operatorname{adj} A

[math]\operatorname{adj} A[/math]

Transpondo uma matriz

A^\top \text{ ou } A^\intercal

[math]A^\top \text{ ou } A^\intercal[/math]

O determinante

\det A = \begin{vmatrix}
    0 & 1\\
    1 & 1
\end{vmatrix} = -1

[math]\det A = \begin{vmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1[/math]

Adicione reticências centralizadas, verticais e diagonais

\begin{bmatrix}
    1      & 0      & \cdots & 0     \\
    0      & 1      & \cdots & 0     \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
    0      & 0      & \cdots & 1     \\
\end{bmatrix}

[math]\begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix}[/math]

Equações em LaTeX no Mettzer

Conheça e ferramenta de equação do Mettzer, aprenda como inserir fórmulas e cálculos matemáticos utilizando o LaTeX com esse tutorial completo.